Gases ideales y reales
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- Escrito por: Germán Fernández
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A principios del siglo XIX, la comprensión de la materia dio un giro fundamental gracias a las aportaciones de la química cuantitativa. En 1811, el físico y químico italiano Amedeo Avogadro formuló una hipótesis audaz que rompía con la intuición de la época: el volumen de un gas no depende del tamaño o de la naturaleza química de sus moléculas, sino únicamente de la cantidad total de partículas presentes. Esta propuesta, que tardó décadas en ser reconocida plenamente por la comunidad científica, constituye hoy la ley de Avogadro y completa el conjunto de leyes fundamentales de los gases ideales.
¿Qué establece exactamente la Ley de Avogadro?
La ley de Avogadro postula que, a temperatura y presión constantes, el volumen que ocupa un gas es directamente proporcional al número de moles o cantidad de sustancia presente. En palabras más simples, si introducimos más moléculas de gas en un recipiente flexible manteniendo constante la temperatura ambiente y la presión exterior, el espacio ocupado por el gas aumentará exactamente en la misma proporción.
Matemáticamente, esta proporcionalidad directa entre el volumen (\(V\)) y el número de moles (\(n\)) se expresa mediante la relación:
\[ V \propto n \quad \implies \quad \frac{V}{n} = k \]
En esta igualdad, \(k\) representa una constante de proporcionalidad que permanece invariable siempre que la temperatura y la presión del sistema no cambien. Gracias a esta constante, podemos comparar el comportamiento de una muestra de gas cuando varía su cantidad de materia mediante la conocida ecuación:
\[ \frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2} \]
Donde \(V_1\) y \(n_1\) representan el volumen y el número de moles iniciales, mientras que \(V_2\) y \(n_2\) corresponden al volumen y la cantidad de sustancia finales tras añadir o retirar gas del sistema.
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A lo largo del desarrollo de la termodinámica, científicos como Robert Boyle, Jacques Charles y Amedeo Avogadro descubrieron por separado cómo respondía un gas cuando se modificaba una de sus variables manteniendo las demás constantes. Sin embargo, en la naturaleza y en la industria, las transformaciones raras veces ocurren aislando un solo factor. Presión, volumen, temperatura y cantidad de materia cambian casi siempre de forma simultánea. Para describir el comportamiento global de un sistema gaseoso fue necesario combinar todas estas relaciones en una única expresión matemática conocida como la ecuación de estado del gas ideal.
¿Cómo se deduce la Ecuación de Estado del Gas Ideal?
La deducción de esta ley matemática surge de manera elegante al unificar las proporcionalidades fundamentales descubiertas previamente. Sabemos por la ley de Boyle que el volumen es inversamente proporcional a la presión, por la ley de Charles que el volumen es directamente proporcional a la temperatura absoluta, y por la ley de Avogadro que el volumen depende proporcionalmente del número de moles presentes.
Al combinar estas tres proporcionalidades en una sola relación, obtenemos que el volumen es proporcional al producto del número de moles por la temperatura, dividido entre la presión:
\[ V \propto \frac{n \cdot T}{P} \]
Para convertir esta relación de proporcionalidad en una ecuación matemática exacta, introducimos una constante universal de proporcionalidad representada por la letra \(R\). Reordenando los términos para eliminar el divisor, llegamos a la célebre ecuación fundamental de estado de los gases ideales:
\[ P \cdot V = n \cdot R \cdot T \]
En esta formulación, \(P\) representa la presión absoluta del gas, \(V\) es el volumen que ocupa, \(n\) corresponde a la cantidad de sustancia en moles, \(T\) es la temperatura absoluta expresada en Kelvin y \(R\) es la constante universal de los gases ideales.
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Ejercicio 1: Cálculo del volumen de un gas
¿Cuál es el volumen ocupado por \(13,7 \text{ g}\) de \(\text{Cl}_2(g)\) a \(45\,^\circ\text{C}\) y \(745 \text{ mmHg}\)?
Paso 1: Identificación de datos y conversión de unidades
- Masa de gas (\(m\)): \(13,7 \text{ g}\)
- Masa molar del cloro gaseoso (\(\text{Cl}_2\)): \(M = 2 \times 35,45 \text{ g/mol} = 70,90 \text{ g/mol}\)
- Temperatura (\(T\)): \(t = 45\,^\circ\text{C} \implies T = 45 + 273,15 = 318,15 \text{ K}\)
- Presión (\(P\)): \(745 \text{ mmHg} \implies P = \frac{745}{760} \approx 0,9803 \text{ atm}\)
Paso 2: Cálculo de los moles de gas
\[ n = \frac{m}{M} = \frac{13,7 \text{ g}}{70,90 \text{ g/mol}} \approx 0,1932 \text{ moles de Cl}_2 \]
Paso 3: Cálculo del volumen mediante la Ecuación del Gas Ideal
Despejamos el volumen (\(V\)) de la ecuación \(P \cdot V = n \cdot R \cdot T\): \[ V = \frac{n \cdot R \cdot T}{P} \]
Sustituyendo los valores con la constante \(R = 0,08206 \text{ L}\cdot\text{atm}/(\text{mol}\cdot\text{K})\): \[ V = \frac{(0,1932 \text{ mol}) \cdot (0,08206 \text{ L}\cdot\text{atm}/(\text{mol}\cdot\text{K})) \cdot (318,15 \text{ K})}{0,9803 \text{ atm}} \approx \mathbf{5,15 \text{ litros}} \]
Leer más: Aplicación práctica de la ecuación de estado del gas ideal
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En el estudio práctico de la química y la física de fluidos, es muy habitual trabajar con sistemas cerrados donde la cantidad de materia no varía, pero las condiciones del entorno cambian drásticamente. Cuando un gas sufre una transformación en la que se modifican simultáneamente su presión, su volumen o su temperatura, no necesitamos recurrir a la constante universal cada vez. A partir de la ecuación general del gas ideal, es posible deducir una relación matemática directa y elegante que conecta el estado inicial del gas con su estado final.
¿Cómo se deduce la relación entre dos estados de un gas?
Para obtener esta importante igualdad, partimos de la ecuación de estado aplicada de forma independiente a dos momentos distintos de un mismo gas cerrado. En el estado inicial, la presión (\(P_1\)), el volumen (\(V_1\)) y la temperatura absoluta (\(T_1\)) satisfacen la relación:
\[ P_1 \cdot V_1 = n \cdot R \cdot T_1 \]
Del mismo modo, tras ocurrir una transformación térmica o mecánica, el gas alcanza un estado final caracterizado por las variables de presión (\(P_2\)), volumen (\(V_2\)) y temperatura (\(T_2\)), cumpliendo la condición:
\[ P_2 \cdot V_2 = n \cdot R \cdot T_2 \]
Si el recipiente es hermético y no entra ni sale masa del sistema, el número de moles (\(n\)) permanece constante. Dado que la constante universal \(R\) tampoco cambia, el producto de ambas magnitudes (\(n \cdot R\)) se mantiene invariable durante todo el proceso. Si despejamos este producto constante en ambas ecuaciones, obtenemos que en el estado inicial:
\[ n \cdot R = \frac{P_1 \cdot V_1}{T_1} \]
E igualmente, para el estado final se cumple que:
\[ n \cdot R = \frac{P_2 \cdot V_2}{T_2} \]
Dado que ambos miembros son equivalentes a la misma cantidad fija (\(n \cdot R\)), podemos igualar ambas expresiones directamente, obteniendo la ecuación combinada de los gases ideales:
\[ \frac{P_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{P_2 \cdot V_2}{T_2} \]
Esta poderosa relación nos indica que el cociente entre el producto de la presión y el volumen respecto a la temperatura absoluta permanece constante durante cualquier transformación que sufra un gas cerrado.
Leer más: La Ecuación Combinada de los Gases: Conectando Dos Estados Termodinámicos
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Una muestra de \(1,00 \text{ mL}\) de \(\text{N}_2(g)\) a \(36,2\,^\circ\text{C}\) y \(2,14 \text{ atm}\) se calienta hasta \(37,8\,^\circ\text{C}\) y la presión se reduce hasta \(1,02 \text{ atm}\). ¿Qué volumen ocupa el gas a esta temperatura y presión?
1. Identificación de Datos y Conversión a Temperatura Absoluta
Dado que la masa de nitrógeno gaseoso no cambia durante el proceso, empleamos la Ecuación Combinada de los Gases Ideales. Organizamos los datos pertenecientes al estado inicial (1) y al estado final (2):
- Estado inicial (1):
- Presión inicial (\(P_1\)): \(2,14 \text{ atm}\)
- Volumen inicial (\(V_1\)): \(1,00 \text{ mL}\)
- Temperatura inicial (\(T_1\)): \(36,2\,^\circ\text{C} \implies T_1 = 36,2 + 273,15 = 309,35 \text{ K}\)
- Estado final (2):
- Presión final (\(P_2\)): \(1,02 \text{ atm}\)
- Temperatura final (\(T_2\)): \(37,8\,^\circ\text{C} \implies T_2 = 37,8 + 273,15 = 310,95 \text{ K}\)
- Volumen final (\(V_2\)): Variable incógnita.
2. Planteamiento de la Ecuación Combinada de los Gases
La relación fundamental entre los dos estados para una masa constante de gas viene dada por:
\[ \frac{P_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{P_2 \cdot V_2}{T_2} \]
Despejamos la variable del volumen final (\(V_2\)) multiplicando la expresión por la temperatura final (\(T_2\)) y dividiendo entre la presión final (\(P_2\)):
\[ V_2 = \frac{P_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{P_2 \cdot T_1} \]
Leer más: Aplicación de la ecuación general de los gases ideales