En el estudio práctico de la química y la física de fluidos, es muy habitual trabajar con sistemas cerrados donde la cantidad de materia no varía, pero las condiciones del entorno cambian drásticamente. Cuando un gas sufre una transformación en la que se modifican simultáneamente su presión, su volumen o su temperatura, no necesitamos recurrir a la constante universal cada vez. A partir de la ecuación general del gas ideal, es posible deducir una relación matemática directa y elegante que conecta el estado inicial del gas con su estado final.
¿Cómo se deduce la relación entre dos estados de un gas?
Para obtener esta importante igualdad, partimos de la ecuación de estado aplicada de forma independiente a dos momentos distintos de un mismo gas cerrado. En el estado inicial, la presión (\(P_1\)), el volumen (\(V_1\)) y la temperatura absoluta (\(T_1\)) satisfacen la relación:
\[ P_1 \cdot V_1 = n \cdot R \cdot T_1 \]
Del mismo modo, tras ocurrir una transformación térmica o mecánica, el gas alcanza un estado final caracterizado por las variables de presión (\(P_2\)), volumen (\(V_2\)) y temperatura (\(T_2\)), cumpliendo la condición:
\[ P_2 \cdot V_2 = n \cdot R \cdot T_2 \]
Si el recipiente es hermético y no entra ni sale masa del sistema, el número de moles (\(n\)) permanece constante. Dado que la constante universal \(R\) tampoco cambia, el producto de ambas magnitudes (\(n \cdot R\)) se mantiene invariable durante todo el proceso. Si despejamos este producto constante en ambas ecuaciones, obtenemos que en el estado inicial:
\[ n \cdot R = \frac{P_1 \cdot V_1}{T_1} \]
E igualmente, para el estado final se cumple que:
\[ n \cdot R = \frac{P_2 \cdot V_2}{T_2} \]
Dado que ambos miembros son equivalentes a la misma cantidad fija (\(n \cdot R\)), podemos igualar ambas expresiones directamente, obteniendo la ecuación combinada de los gases ideales:
\[ \frac{P_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{P_2 \cdot V_2}{T_2} \]
Esta poderosa relación nos indica que el cociente entre el producto de la presión y el volumen respecto a la temperatura absoluta permanece constante durante cualquier transformación que sufra un gas cerrado.
¿Cómo engloba esta ecuación a todas las demás leyes de los gases?
La gran belleza de esta fórmula reside en su capacidad para unificar y simplificar las leyes individuales descubiertas históricamente. Si en un experimento particular mantenemos el volumen constante, los términos de volumen (\(V_1\) y \(V_2\)) son iguales y se cancelan mutuamente en ambos lados de la ecuación, reduciéndose a la ley de Gay-Lussac para procesos isocóricos.
Si por el contrario el proceso ocurre a presión constante, las presiones se cancelan y obtenemos directamente la ley de Charles. De igual manera, si la temperatura no varía durante la transformación, los términos de temperatura se simplifican y recuperamos la relación inversamente proporcional de la ley de Boyle.
¿Cómo se resuelve un caso práctico de laboratorio?
Tomemos como ejemplo el experimento representado en nuestro esquema de laboratorio. Disponemos de un recipiente esférico de vidrio con un volumen fijo de \(1,00 \text{ litro}\) que contiene oxígeno gaseoso (\(\text{O}_2\)) en condiciones estándar de presión y temperatura, es decir, a una temperatura inicial de \(T_1 = 273,15 \text{ K}\) y una presión inicial de \(P_1 = 1,00 \text{ bar}\) (equivalente a \(0,987 \text{ atm}\)).
A continuación, introducimos el recipiente dentro de un baño de agua provisto de un calentador eléctrico y elevamos la temperatura del sistema hasta alcanzar el punto de ebullición del agua, situando el termómetro en un valor final de \(T_2 = 373,15 \text{ K}\) (\(100\,^\circ\text{C}\)). Como el matraz de vidrio es rígido, el volumen final se mantiene inalterado en \(V_2 = 1,00 \text{ litro}\). ¿Cuál será la nueva presión que marcará el manómetro conectado al tanque?
Para calcular la presión final (\(P_2\)), planteamos la ecuación general entre los dos estados. Puesto que el volumen del recipiente no cambia (\(V_1 = V_2 = 1,00 \text{ L}\)), simplificamos los volúmenes de la ecuación quedándonos únicamente con la relación entre presión y temperatura:
\[ \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2} \]
Despejamos la variable de la presión final (\(P_2\)) multiplicando la temperatura final por el cociente entre la presión y la temperatura iniciales:
\[ P_2 = T_2 \cdot \frac{P_1}{T_1} \]
Sustituyendo los datos medidos en el experimento, tenemos:
\[ P_2 = 373,15 \text{ K} \cdot \frac{1,00 \text{ bar}}{273,15 \text{ K}} = \frac{373,15}{273,15} \approx 1,37 \text{ bar} \]
El resultado demuestra de manera cuantitativa cómo el aumento de temperatura en un recipiente rígido se traduce en un incremento proporcional de la presión del gas, pasando de \(1,00 \text{ bar}\) a exactamente \(1,37 \text{ bar}\) debido a la mayor velocidad y frecuencia de impacto de las moléculas de oxígeno contra las paredes del matraz.
VÍDEO EXPLICATIVO: